Reihe Absolut Convergent Beispiel Essay

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In diesem Kapitel werden wir mit der absoluten Konvergenz eine neue und stärkere Art der Konvergenz kennenlernen, welche auch bei einer beliebigen Umsortierung der Summanden ihr Konvergenzverhalten nicht ändert, was wir in einem späteren Kapitel genauer betrachten werden.

Motivation[Bearbeiten]

Bei endlichen Summen ist es egal, in welcher Reihenfolge man die Summanden aufschreibt. Beispielsweise ist das Ergebnis von

dasselbe wie von

Dies gilt aufgrund der Kommutativität der Addition. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen ist. Wenn man endlich oft benachbarte Summanden vertauscht, ändert sich das Ergebnis nicht. Diese Invarianz bzw. „Unveränderlichkeit“ des Werts endlicher Summen gegenüber Summandenvertauschungen geht bei unendlichen Summen (also bei Reihen) verloren. Nehmen wir eine Reihe

Der Wert dieser Reihe kann sich durch eine Umordnung der Summanden ändern. So kann der Wert der folgenden Reihe ein anderer sein, als bei der ursprünglichen Reihe:

Bei einer Umordnung der Summanden kann eine konvergente Reihe sogar divergent werden und umgekehrt. Es stellt sich die Frage: Wann können wir die Summanden einer Reihe beliebig umordnen, ohne dass ihr Grenzwert oder gar ihr Konvergenzverhalten geändert wird? Für konvergente Reihen über reelle Zahlen kann man diese Frage leicht beantworten:

Das Grenzwertverhalten einer reellwertigen und konvergenten Reihe ist genau dann immun gegen eine Umsortierung ihrer Summanden, wenn sie absolut konvergiert.

Definition[Bearbeiten]

Was ist absolute Konvergenz?

Definition 

Eine Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn konvergiert.

Eine Reihe ist also genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert. Bei absolut konvergenten Reihen werden die Beträge ihrer Summanden so schnell klein, dass die Summe der Beträge beschränkt bleibt (und damit die Reihe konvergiert).

Hinweis

Ist für alle , dann ist . Die absolute Konvergenz einer Reihe mit ist damit gleichbedeutend mit der Konvergenz dieser Reihe.

Also: Eine Reihe mit ausschließlich nicht negativen Summanden konvergiert genau dann absolut, wenn sie konvergiert.

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert [Bearbeiten]

Absolute Konvergenz ist eine stärkere Form der Konvergenz einer Reihe. Absolut konvergente Reihen sind genau die konvergenten Reihen, deren Konvergenzverhalten immun gegen eine Umsortierung der Summanden ist. Jede absolut konvergente Reihe konvergiert. Dies zeigen wir im folgenden Satz:

Satz (Absolute Konvergenz impliziert normale Konvergenz.)

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.

Alternativer Beweis (Beweis mit Cauchy-Kriterium für Reihen)

Wir können den Beweis von oben auch kürzer formulieren, indem wir das Cauchy-Kriterium für Reihen benutzen. Sei eine Reihe, die absolut konvergiert. Wir wissen also, dass konvergiert. Wir wenden auf das Cauchy-Kriterium für Reihen an. So erhalten wir

Nun folgt aus der Dreiecksungleichung, dass ist. Wenn also kleiner als ist, dann muss auch kleiner als sein. Dementsprechend folgt

Dies ist aber genau das Cauchy-Kriterium dafür, dass konvergiert. Also muss konvergent sein.

Hinweis

Aus dem Beweis folgt insbesondere , falls die Reihe absolut konvergiert. Es ist nämlich im Fall der absoluten Konvergenz:

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